zaterdag 14 maart 2009

Pi(e)-dag!!

door Yair
Even voor de duidelijkheid, in de VS schrijf je eerst de maand en dan de dag, het is vandaag dus 3-14, pi dus.

Kortom, maart kon al niet stuk met square root day op 3 maart (iets wat maar negen keer per eeuw voorkomt), en dan hebben we vandaag Pi-dag! Pi-dag is helaas iets minder zeldzaam, het is namelijk een jaarlijks terugkerende dag, en op 22 juli hebben we zelfs pi-approximation day (22/7 is ongeveer pi), dus eigenlijk zijn er 2 pi-dagen per jaar, maar desalwelteplus.

Het leuke is natuurlijk dat je Pi op z'n engels moet uitspreken en dan is het ook meteen duidelijk wat we vandaag moeten doen, dat dan het liefst om 1:59 en 26 seconden, maar dat spreekt voor zich.

Over Pi: Pi komt van het griekse woord perimetros, wat omtrek betekent. Pi is irrationeel (wat wil zeggen dat het geen breuk is van twee eindige getallen q/k), en het is trancedent (wat wil zeggen dat er geen eindige algebraische vergelijking met Pi als uitkomst is). Het is niet bekend of Pi een normaal getal is (wat wil zeggen dat elk nummer of elk blok van nummers even vaak voorkomt als je zou kunnen verwachten op grond van puur toeval).

En over Pi-dag: MIT stuurt meestal zijn acceptatie brief naar toekomstige studenten op Pi-dag. Het amerikaanse congres heeft 14 maart 2009 erkend als officiele "nationale Pi-dag". Pi-dag wordt gevierd op vele scholen in de Verenigde Staten (als het niet in het weekend valt zoals vandaag).

Tot slot, een kort piem (ipv poem): "How I need a drink, alcoholic of course, after the heavy lectures involving quantum mechanics". Het idee achter piems? Tel het aantal letters per woord...

4 opmerkingen:

Marte zei

Hihihi, je zei 'piem'

hihihi

Yael zei

Ik dacht laat ik eens proberen dit te begrijpen.Ik heb Pi approximation uitgerekend en ik kwam uit op 3.1428571 .Als ik Pi zelf op de meetlat X 7 leg kom ik inderdaad dicht in de buurt van de 22 dwz 21.991144 Nou dit was nog leuk om te doen .

Je raadsel van het leuke van Pi om 1:59 en 26 seconden, leek mij een heerlijke ovenwarme Pie van Marte ,of ?

Dan Pi als getal. Irrationeel en trancedent.Maar misschien niet normaal. Toen was ik de kluts kwijt.Pi begon met omtrek en dat leek mij toch wel de facto eindig ,maar toen begreep ik dat ik niets begreep van de berekenig van de omtrek .
Kortom, waar is mijn kluts?
Ja ,nee niet de kluts/klopper in de keuken la .
Verder vind ik de viering van Pi-dag wel iets hebben .Doet me aan het getal 7 denken.Een mooi getal in de week om even te genieten van rust en apple gebak.
Dan je gedicht met de suggestie het aantal letters per woord te tellen in verband met hoe ik een drankje nodig heb. Ik kwam uit op 2 ,geen 3 en ook geen 9 .

Nu ben ik totaal uitgeput van het denken ,dus.....
Yma

Toeval : mijn woordverificatie is vandaag ingsfui,nou als dat ing geen toeval is dan weet ik het niet meer.Die werd opgevolgd door
de uplimpom. Dus zo zie je maar weer : de goden spreken via internet

yair zei

ha, leuke reactie ima, even mijn reactie
die 1:59 en 26 seconden: datum = 3-14, tijd is 1:59.26 Zet dat achter elkaar: 3.1415926 = het begin van pi.

Irrationeel: Pi is zeker eindig in de zin dat het <4. Maar met eindig wordt hier bedoeld het aantal getallen achter de komma. Dus 2.5 is dan eindig, 2.55530949059689403... en dan nog oneindig veel getallen niet.
Irrationeel gaat nog een stapje verder: als een getal rationeel is (laten we zeggen het getal A) dan geldt A = p/q, waarbij p en q eindige getallen zijn. Dus 2 is een rationeel getal, want 2 = 2/1. 3.33333... (oneindig veel drieen) is rationeeel want 3.3333... = 10/3.
Nu we het hier toch over hebben zal ik meteen een voorbeeld geven van een irrationeel getal: De wortel van 2 is een irrationeel getal, d.w.z. er bestaat geen eindige p en eindige q (beiden hele getallen) waarvoor geldt: p/q = wortel(2).
Bewijs: stel er is wel een eindige p/q waarvoor geldt : wortel(2) = p/q. We nemen dan de meest vereenvoudigde breuk, bijvoorbeeld 3,5 = 350/100 = 175/50 ... = 7/2, dat laatste is de meeste vereenvoudigde breuk, want je kunt niet beide getallen nog kleiner maken en ze heel laten.
Okay we hebben nu dus de meest vereenvoudigde
1) wortel(2) = p/q. wortel(2) * wortel(2) = 2, wortel(2) = p/q --> (p/q)*(p/q) = 2, d.w.z.
2) p^2/q^2 = 2 -->
3) p^2 = 2*q^2
Nu geldt weer iets aparts voor kwadraten. Het kwadraat een even getal is even (2*2 = 4, 8*8=64, etc.) en het kwadraat van een oneven getal is oneven (3*3 = 9. 11 * 11 = 121 etc.). Verder geldt dat 2* een getal altijd even is (2*2 = 4, 2*5=10, maar simpeler, per definitie: even wil zeggen deelbaar door 2 en het resultaat is een heel getal).
Maar q is een heel getal, dus q^2 ook, dus 2*q^2 is even. Echter p^2 = 2*q^2, dus p^2 is even, maar p^2 is alleen even als p even is, dus
4) p = even
Een even getal wil zeggen dat als je het deelt door 2 dan hou je een heel getal over, of andersom, elk even getal kan je schrijven als 2*een heel getal (bv 2 = 2*1, 128 = 2*64, etc.), dus
5) p = 2*A
-->
6) p^2 = 2*A*2*A = 4*A^2
Pakken we er 3) weer even bij: p^2 = 2*q^2, dan geldt dus:
7) 4*A^2 = 2*q^2
-->
8) q^2 = 2 * A^2,
dat wil zeggen, q^2 = 2* een heel getal, dus q^2 = even, dus q = even, dus we kunnen schrijven
9) q = 2*B
Echter p = 2*A en q=2*B, dus nu geldt
10) wortel(2) = p/q = 2*A/2*B = A/B
oftewel we kunnen die meest vereenvoudigde breuk nog wel verder vereenvoudigen. Maar we begonnen juist met de meest vereenvoudigde eindige breuk! Oftewel we hebben een contradictie oftwel een reductio ad absurdum, wat zoveel wil zeggen dat ons uitgangspunt, dat wortel(2) te schrijven is als een eindige breuk, niet waar kan zijn. Kortom wortel(2) is niet te schrijven als een eindige breuk en is dus een oneindig lang getal.

Zo dat was irrationeel.... Beetje ingewikkeld, maar ik wilde je dat niet besparen...

Trancedent kunnen we ook hieruit halen, voor wortel(2) geldt: x^2 = 2 --> x = wortel(2), dus er is een eindige algebraische vergelijking (x^2 = 2), met wortel(2) als oplossing. Zoiets bestaat niet voor pi. Je krijgt pi alleen als oplossing van een oneindige algebraische vergelijking.

Daar laat ik het maar even bij qua wiskundig gegoochel....

Yael zei

Wel dat was een overweldigende uitleg. Ik lasje uitleg door en ontdekte dat ik toch echt zelfs de definities uit de getallenleer niet uit het hoofd ken.Dus ik ben gaan zoeken en kwam tot het volgende

*Rationeel is een getal dat deelbaar is door een niet o getal 12/4 of 0,12 : 0,4 en dat eventueel leidt tot een repeterende breuk , zoals 2/3 =.0,6666 etc.
*De wortel uit 2 evenals π en e maken geen deel uit van de verzameling rationale getallen, omdat ze niet als een breuk van twee gehele getallen geschreven kunnen worden. Deze getallen zijn irrationale getallen.
*De verzameling rationele getallen is in principe oneindig en de verzameling irrationele overtreft het oneindige.
*Dan krijgen we de uitbreiding van reële getallen naar complexe getallen ,waarbij een complex getal correspondeert met een punt uit een vlak .
*Het complexe getal noemt men transcedent als het niet is op te schrijven als een oplossing van een algebraïsche vergelijking van willekeurige eindige graad

Hierna las ik je uitleg wederom en ik begon het te begrijpen.Joepie !!Ik had gelezen dat transcedente getallen dus per definitie irrationeel zijn.Snapte ik niet in eerste instantie Maar wat je schrijft ,kon ik volgen

"Trancedent kunnen we ook hieruit halen, voor wortel(2) geldt: x^2 = 2 --> x = wortel(2), dus er is een eindige algebraische vergelijking (x^2 = 2), met wortel(2) als oplossing. Zoiets bestaat niet voor pi. Je krijgt pi alleen als oplossing van een oneindige algebraische vergelijking ".

Kortom ,ik heb het gevoel dat ik weer even in een andere wereld heb rondgeneusd ,waar ik me al heel lang niet meer in durfde te begeven.
Leuk ,maar een wereld waarvan ik de woorden nog wel kan volgen ,maar de sommetjes????

Kortom als ik met pensioen ga,zal ik eens wat wiskunde lessen nemen en vele sommen/afleidingen maken ,want dan kun je gewoon niet dement worden .

Hoe staat het met het economisch herstel in de USA.Kopen jullie Marte's droomhuis al?En jullie publicaties!!!!

Keep in touch